Просмотр исходного текста страницы Blog:Korogodin/Апостериорная плотность вероятности при синтезе систем слежения за амплитудой сигнала и СКО шума

Начал проводить синтез СС, остановился перед задачей нахождения экстремума.

== Постановка задачи ==

Полагаем, что на входе системы обработки на интервале времени <math>\!\!T=L{{T}_{d}}\!\!</math> наблюдается реализация 

<math>{{y}_{k,l}}=S\left( {{t}_{k,l}},\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ },\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right)+\sigma _{n,k}^{{}}{{n}_{k,l}},</math> &nbsp; <math>l=\overline{1,L},</math>                 
                                                                
где <math>\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }</math>, <math>\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }</math> ― постоянные на интервале наблюдения информативные и неинформативные параметры сигнала; <math>\!\!n_{k,l}\!\!</math> — ДБГШ с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
--more-- 

<br /> <br />
При статистическом подходе к решению задач оценивания параметры <math>\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }</math>, <math>\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }</math> полагаются векторными СВ с заданными априорными плотностями вероятности <math>{{p}_{ap}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)</math>, <math>{{p}_{ap}}\left( \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right)</math>.


Пусть решается задача оценки одного или нескольких параметров сигнала, полагая при этом, что начальная фаза сигнала <math>\varphi _{k}^{{}}</math> и символ навигационного сообщения  <math>\!\!h_{ns,k}\!\!</math> являются СВ, причем <math>\varphi _{k}^{{}}</math> распределена равномерно на интервале <math>\left[ -\pi ,\pi  \right]</math>, а <math>{\!\!{h}_{ns,k}\!\!}</math> принимает значения <math>\pm 1</math> с равными вероятностями.


Модель сигнала может быть записана в виде

<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}^{{}}{{h}_{ns,k}}{{G}_{dc}}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,0}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,0}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>         
                                                      
где <math>\varphi _{k}^{{}}</math> распределена равномерно на интервале <math>\left[ -\pi ,\pi  \right]</math>.


Рассмотрим  некогерентный режим НАП, при котором не используется и не формируется информация о фазе сигнала <math>\varphi _{k}^{{}}</math> и символе НС <math>\!\!{h}_{ns,k}\!\!</math>, т.е. данные параметры полагаются неинформативным <math>\mathbf{\mu }=\left| \begin{matrix}
   {{h}_{ns,k}}  \\
   \varphi _{k}^{{}}  \\
\end{matrix} \right|</math>. Тогда вектор информативных параметров состоит из <math>A_{k}^{{}}</math>, <math>\tau _{k}^{{}}</math>, <math>\omega _{d,k}^{{}}</math> и <math>\sigma _{n,k}^{{}}</math>: <math>\mathbf{\lambda }=\left| \begin{matrix}
   A_{k}^{{}} & \sigma _{n,k}^{{}} & \tau _{k}^{{}} & \omega _{d,k}^{{}}  \\
\end{matrix} \right|_{{}}^{T}</math>.


== Выражение для апостериорной плотности вероятности ==

После ряда преобразований получаем выражение для апостериорной плотности вероятности:

<math>p\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}}|Y_{1}^{L} \right)=p_{ap}^{{}}\left( \mathbf{\lambda }_{k}^{{}} \right)\frac{1}{\left( \sigma _{n,k}^{{}}\sqrt{2\pi } \right)_{{}}^{L}}\exp \left( -\frac{\sum\limits_{l=1}^{L}{y_{k,l}^{2}}+E\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{2{{\sigma }_{n,k}}^{2}} \right)\times {{I}_{0}}\left( \frac{{{A}_{k}}}{{{\sigma }_{n,k}}^{2}}{{X}_{k}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right),</math>

где

<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2};</math> 

<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>

<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>

в которых

<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,0}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,0}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>

== Дальнейшие действия ==

Далее надо решить задачу нахождения экстремума, что при получившемся выражении - не самое приятное занятие.
{{wl-publish: 2011-04-11 00:47:57 +0400 | Korogodin }}