Псевдодальномерный метод позиционирования (АП СРНС, лабораторная работа)

Цели работы

• Убедиться в работоспособности дальномерного и псевдодальномерного методов позиционирования
• Реализовать итерационный алгоритм решения навигационной задачи методом наименьших квадратов, убедиться в его работоспособности
• Освоить методику расчета геометрического фактора снижения точности

Общая информация

Назначение навигационной системы - определение координат, скорости, ориентации объекта-носителя, а так же обеспечение его шкалой времени. Для решения задачи оценки координат навигационного приемника, а так же коррекции его шкалы времени относительно системной, используется псевдодальномерный метод позиционирования.

Дальномерный метод позиционирования

Псевдодальномерный метод позиционирования спутниковых радионавигационных систем второго поколения является усложнением дальномерного метода позиционирования. Дальномерный метод позиционирования - это метод определения положения по измерениям дальности (расстояния) до нескольких точек с известными координатами.

Рисунок 1 - Карта, с нанесенной береговой линией и расположением маяков

Поясним суть дальномерного метода на примере. Представим, что потребитель - это корабль в море, перед штурманом которого стоит задача определения положения корабля. На корабле есть часы, по которым штурман узнает время. На берегу изобретательные люди установили два маяка, как показано на рисунке 1.

Со смотрителем первого маяка есть договоренность, что ровно в полночь, и не наносекундой позже, тот подаст сигнал. Около полуночи штурман взял корабельные часы и начал ждать сигнал, и как только его получил - записал показания часов. На часах, естественно, было немного за полночь. Скажем, на $\Delta t_1$ секунд. Если известна скорость распространения сигнала $V$, то сразу можно сказать, что расстояние между первым маяком и кораблем составляет $R_1 = V \Delta t_1$. Тогда штурман может взять карту, циркуль и начертить окружность радиусом $R_1$ вокруг первого маяка (см. рис. 2).

Рисунок 2 - Линия возможных положений после первого измерения

Уравнение этой окружности можно записать как:

$R_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2}$,

(1)

где $(x_1, y_1)$ - координаты первого маяка.

В любой из точек окружности, что попали в море, может находиться корабль. Это уже лучше, чем полная неопределенность, но хотелось бы ограничиться одной возможной точкой. Для этого необходимо повторить измерения расстояния до второго маяка - получить оценку $R_2 = V \Delta t_2$. Множество возможных положений, при которых расстояние до второго маяка составляет $R_2$ - ещё одна окружность (рис. 3). Её уравнение дополняет первое:

$R_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2}$,

(2)

где $(x_2, y_2)$ - координаты второго маяка.

Рисунок 3 - Линия возможных положений после проведения двух измерения

Наш корабль должен одновременно находиться и на одной, и на другой окружности. Таких точек, а это точки пересечения окружностей, всего две. Но одна из них находится на суше, а морякам достаточно выглянуть за борт, чтобы понять, что они всё же в море. Остается один претендент - точка в море, которая и есть измеренное положение корабля.

Псевдодальномерный метод

Если сигнал распространяется со скоростью света, то при использовании дальномерного метода малейшее рассогласование часов маяков и корабля приведет к большой ошибке измерения расстояния. Например, рассогласование на 1 мс приведет к ошибке в 300 км.

Псевдодальномерный метод учитывает рассогласование часов маяков и потребителя. Пусть часы на маяках синхронизированы между собой, а часы на корабле опережают их на $\Delta \tau$. Тогда измеренные расстояния, даже в отсутствии прочих погрешностей измерений, смещены относительно истинных на $V\Delta \tau$:

$\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} + V \Delta \tau$

(3)

$\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} + V \Delta \tau$

Величины $\rho_1$, $\rho_2$ называют псевдодальностями.

Система уравнений (3) содержит 3 неизвестные: координаты $x$ и $y$ корабля и смещение корабельных часов $\Delta \tau$. Для решения системы потребуется ещё одно измерение - псевдодальности до третьего маяка $\rho_3$.

В СРНС второго поколения маяками выступают навигационные спутники. Каждый спутник передает в своём сигнале эфемеридную информацию, которая позволяет рассчитать координаты спутника на момент излучения. Кроме того, в сигнал заложена величина поправки часов каждого спутника относительно единой системной шкалы времени. Для оценки трех координат и поправки к шкале времени потребителя требуются измерения псевдодальности до четырех спутников:

$\rho_1 = \sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2} + c \Delta \tau$

(4)

$\rho_2 = \sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2} + c \Delta \tau$

$\rho_3 = \sqrt{(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2} + c \Delta \tau$

$\rho_4 = \sqrt{(x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2} + c \Delta \tau$

Для существующих спутниковых созвездий система уравнений (4) в большинстве случае имеет 2 решения, одно из которых можно отбросить по косвенным признакам - расположению под поверхностью земли либо в далеком космосе.

Решение навигационной задачи методом наименьших квадратов

Для расчета координат и поправки к шкале времени по измерениям псевдодальностей можно использовать различные подходы. В данной работе предлагается освоить метод наименьших квадратов с итерационным поиском решения.

После проведения измерений псевдодальностей до $N$ навигационных спутников получаем $N$ оценок псеводальностей $\hat{\rho}_1$, которые отличаются от истинных псевдодальностей ошибками измерений. Тогда решением по методу наименьших квадратов будут такие оценки $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$, $\hat{\Delta \tau}$, при которых достигается минимум суммы невязок:

$\hat{x},\hat{y},\hat{z},\hat{\Delta \tau}=\underset{x,y,z,\Delta \tau }{\mathop{\arg \min }}\,\sum\limits_{n=1}^{N}{\left( \hat{\rho }_{n}^{{}}-\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau \right) \right)}$,

(5)

,

где

$\rho _{n}^{{}}\left( x,y,z,\Delta \tau \right)=\sqrt{\left( x-x_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( y-y_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}+\left( z-z_{n}^{{}} \right)_{{}}^{2}}+c\Delta \tau$

(6)

- псевдодальность до $n$-ого спутника как функция $x$, $y$, $z$ и $\Delta \tau$, а $x_n$, $y_n$, $z_n$ - координаты $n$-ого спутника.

Решение по методу наименьших квадратов соответствует решению по критерию максимального правдоподобия, если ошибки измерений псевдодальностей распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями.